52枚のカードをシャッフルするの次は、1枚増やして53枚の場合を考える。
(問題)
53枚のカードを27枚と26枚に分け、一枚ずつ交互に混ぜる操作(リフルシャッフル)を行う。

0---------------
     ---------------27
1---------------
     ---------------28
          ・
          ・
          ・
25---------------
     ---------------52
26---------------

この操作を繰り返すと、何回で元の並び順に戻るか？
（オリジナル問題）

(解答)
mod 53で考える。(合同式modについては、合同式とは参照)
上から0枚目は不動。(以下全て一番上を0枚目として上から数える)
1〜26枚目は、1→2, 2→4, と2倍した枚目に移動する。
27〜51枚目は、27→1, 28→3, と2倍して53を引いた枚目に移動する。
よって、このシャッフル操作は、k→2k(mod 53)へ動かす操作である。
この操作をx回繰り返すと、k→2^xk(mod 53)となる。
全てのkについてk→k(mod 53)となるのは、2^x≡1(mod 53)となる時である。
2の階乗を順に書き出すと、2, 4, 8, 16, 32, 64(≡11), 128(≡22), 256(≡44) … と続く。
実際、2^x≡1 (mod 53)となるのは、x=52のときである。
よって答えは52回。