コマ大数学科11月6日(金)放送(神戸サンテレビ)は、ポリアの壷(Polya urn)についてでした。問題は以下のようなものです。

壷の中に、白玉5個、赤玉3個が入っている。玉を1個取り出し、白色なら白玉を1個追加して戻す、赤色なら赤玉を1個追加して戻す、という操作を行う。この操作を3回行い、4回目に取り出すとき、白玉である確率は?

答えは、5/8 すなわち、初期状態の確率がそのまま維持されます。なお元ネタは、1997年度京都大学後期入試のようです。

箱の中に、青、赤、黄のカードがそれぞれ3枚、2枚、1枚、合計6枚入っている。1回の試行で、箱の中からカードを1枚取り出し、取り出したカードと同じ色のカードを1枚加えて、再び箱の中に戻す。したがって、n回の試行を完了したときに、(n+6)枚のカードが箱の中にある。n回目の試行が完了したとき、箱の中にある合うのカードの枚数の期待値(E)を求めよ。

コマ大の問題は3回目終了時の数を計算すれば良いので、直接計算するほうが良いでしょうね。

答えが1回目と同じ、すなわち白玉が多くなりそうな気がしても、実はそれは幻想というのがおもしろいですね。これはくじ引きの確率とパラレルですね。くじ引きは、最初に引いても後から引いても当たりの確率は同じですが、そうではないような気がする、という人もいるでしょう。解説では、厳密な証明よりも、くじ引きの場合に触れたほうがおもしろかったように思います。