コマ大

コマ大数学科7月30日放送（兵庫県サンテレビ）は、次のような問題でした。（細部は正確ではないかもしれません。） 三角形ABCは、AB:AC=2:1、∠BAC=60、ABC内の点との距離は、それぞれAP=√3, BP=5, CP=2である。このとき、三角形ABCの面積を求めよ。

コマ大数学科11月6日(金)放送(神戸サンテレビ)は、ポリアの壷(Polya urn)についてでした。問題は以下のようなものです。 壷の中に、白玉5個、赤玉3個が入っている。玉を1個取り出し、白色なら白玉を1個追加して戻す、赤色なら赤玉を1個追加して戻す、という操作を行う。この操作を3回行い、4回目に取り出すとき、白玉である確率は? 答えは、5/8 すなわち、初期状態の確率がそのまま維持されます。なお元ネタは、1997年度京都大学後期入試のようです。 箱の中に、青、赤、黄のカードがそれぞれ3枚、2枚、1枚、合計6枚入っている。1回の試行で、箱の中からカードを1枚取り出し、取り出したカードと同じ色のカードを1枚加えて、再び箱の中に戻す。したがって、n回の試行を完了したときに、(n+6)枚のカードが箱の中にある。n回目の試行が完了したとき、箱の中にある合うのカードの枚数の期待値(E)を求めよ。 コマ大の問題は3回目終了時の数を計算すれば良いので、直接計算するほうが良いでしょうね。 答えが1回目と同じ、すなわち白玉が多くなりそうな気がしても、実はそれは幻想というのがおもしろいですね。これはくじ引きの確率とパラレルですね。くじ引きは、最初に引いても後から引いても当たりの確率は同じですが、そうではないような気がする、という人もいるでしょう。解説では、厳密な証明よりも、くじ引きの場合に触れたほうがおもしろかったように思います。

コマ大数学科6月19日(金)(サンテレビの放送日)で、カントールの対角線論法が少し紹介されていました。そこで集合について考えてみたいと思います。無限集合の濃度等まで話が進むのでかなり大変ですけど。 二つの集合の要素を1つずつマッチングさせていき、半端が出ないことを、「一対一対応」と呼びます。 数学では、写像(集合から集合への要素の対応付け)としてとらえます。「単射」「全射」という概念を用います。以下では集合Xから集合Yへの写像について考えます。 単射: すべての「Xの要素」に対応する「Yの要素」がある 全射: すべての「Yの要素」に対応する「Xの要素」がある 単射かつ全射の場合を、「全単射」と呼びます。日常用語の「一対一対応」は、人によって解釈が異なるようです。数学を議論する場合は(そんなことが日常で起こるかどうかは知りませんが)、日常用語ではなく、数学用語を用いるほうが良いでしょう。 有限集合の場合は、全単射なら要素の個数が同じです。無限集合の場合は、全単射が成立する無限集合、濃度が等しいとみなします。 不思議に思うかもしれませんが、自然数と有理数の濃度が等しい、ということが証明されています。 一方、自然数と実数の濃度は異なります。この証明にカントールが用いた方法が、対角線論法として知られています。 長くなったので、カントールの対角線論法の詳細は次回紹介します。